積分法 2曲線の交点、原点、弧で囲まれる図形の面積、定積分の計算、定数、軌跡
微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、演習問題20.の解答を求めてみる。
両曲線の弧で囲まれる面積を求める。
面積が一定の場合、
は一定なので、 点 P の軌跡について、
コード
#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, pprint, solve, Rational, plot, Integral
from sympy.abc import x, y
print('20.')
alpha = 2
beta = 3
y1 = solve(alpha * y ** 3 - x ** 4, y)
y2 = solve(beta * x ** 3 - y ** 4, y)
for o in [y1, y2]:
pprint(o)
print()
y1 = y1[0]
y2 = y2[1]
for o in [y1, y2]:
pprint(o)
print()
x0 = (alpha ** 4 * beta ** 3) ** Rational(1, 7)
class Test(TestCase):
def test(self):
self.assertEqual(
float(Integral(y2 - y1, (x, 0, x0)).doit()),
alpha * beta / 7
)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
p = plot(y1, y2, (x, 0, x0), legend=True, show=False)
for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color
p.show()
p.save('sample20.png')
if __name__ == "__main__":
main()
入出力結果
% ./sample20.py -v
20.
⎡ ____ ____ ____ ____
⎢ 2/3 3 ╱ 4 2/3 3 ╱ 4 2/3 3 ╱ 4 2/3 3 ╱ 4 2/3
⎢2 ⋅╲╱ x 2 ⋅╲╱ x 2 ⋅√3⋅ⅈ⋅╲╱ x 2 ⋅╲╱ x 2 ⋅√3⋅ⅈ⋅
⎢────────────, - ──────────── - ─────────────────, - ──────────── + ──────────
⎣ 2 4 4 4 4
____⎤
3 ╱ 4 ⎥
╲╱ x ⎥
───────⎥
⎦
⎡ ____ ____ ____ ____⎤
⎢ 4 ___ 4 ╱ 3 4 ___ 4 ╱ 3 4 ___ 4 ╱ 3 4 ___ 4 ╱ 3 ⎥
⎣-╲╱ 3 ⋅╲╱ x , ╲╱ 3 ⋅╲╱ x , -╲╱ 3 ⋅ⅈ⋅╲╱ x , ╲╱ 3 ⋅ⅈ⋅╲╱ x ⎦
____
2/3 3 ╱ 4
2 ⋅╲╱ x
────────────
2
____
4 ___ 4 ╱ 3
╲╱ 3 ⋅╲╱ x
test (__main__.Test) ... ok
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.040s
OK
%
