数学のブログ

積分法 定積分の計算、曲線、平方根、座標軸、図形の面積

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、演習問題18.の解答を求めてみる。

xa+yb=1
yb=1-xa
yb=1-2xa+xa
y=b(1-2xa+xa)
xa=1
xa=1
x=a

よって求める面積は、

0ab(1-2xa+xa)dx
=b[x-43·x32a+x22a]0a
=b(a-4a323a+a22a)
=b(a-43a+12a)
=6-8+36ab
=16ab

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Integral, symbols, sqrt, solve, pprint, plot
from sympy.abc import x, y

print('18.')

a, b = symbols('a, b', positive=True)
eq = sqrt(x / a) + sqrt(y / b) - 1
ys = solve(eq, y)
pprint(ys)
y0 = ys[0]
xs = solve(y0, x)
pprint(xs)
x0 = xs[0]


class Test(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(
            Integral(y0, (x, 0, x0)).doit(),
            a * b / 6
        )


a0 = 3
b0 = 2
d = {a: a0, b: b0}
p = plot(y0.subs(d), (x, 0, a0), ylim=(0, a0), legend=True)
p.save('sample18.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果

% ./sample18.py -v
18.
⎡           2⎤
⎢b⋅(√a - √x) ⎥
⎢────────────⎥
⎣     a      ⎦
[a]
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.145s

OK
%