多変数の関数グラフと等位線 4次式、2次方程式、判別式、解

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第3章(多変数の関数)、1(グラフと等位線)の練習問題12.の解答を求めてみる。

\frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}} = c

x y^{2} = c x^{2} + c y^{4}

c x^{2} - y^{2} x + c y^{4} = 0

c = 0

のとき、

x y^{2} = 0

x = 0 \lor y = 0

c \neq 0

のとき、

x = \frac{y^{2} \pm \sqrt{y^{4} - 4 c^{2} y^{4}}}{2 c}

= \frac{1 \pm 1 \sqrt{1 - {(2 c)}^{2}}}{2 c} y^{2}

\begin{array}{l} 0 < | 2 c | \leq 1 \\ 0 < | c | \leq \frac{1}{2} \end{array}

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, solve, Rational
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y

print('12.')

f = x * y ** 2 / (x ** 2 + y ** 4)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

p = plot3d(f, show=False)
p.save(f'sample12_1.png')
xs = []
for c in [-Rational(1, 2), -Rational(1, 4),
          Rational(1, 4), Rational(1, 2)]:
    xs += solve(f - c, x)
print(xs)
p = plot(*xs,
         (y, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
p.xlabel = y
p.ylabel = x
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
    print(o, color)
p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.save(f'sample12_2.png')

p.show()

入出力結果

% ./sample12.py
12.
[-y**2, y**2*(-2 + sqrt(3)), -y**2*(sqrt(3) + 2), y**2*(2 - sqrt(3)), y**2*(sqrt(3) + 2), y**2]
cartesian line: -y**2 for y over (-10.0, 10.0) red
cartesian line: y**2*(-2 + sqrt(3)) for y over (-10.0, 10.0) green
cartesian line: -y**2*(sqrt(3) + 2) for y over (-10.0, 10.0) blue
cartesian line: y**2*(2 - sqrt(3)) for y over (-10.0, 10.0) brown
cartesian line: y**2*(sqrt(3) + 2) for y over (-10.0, 10.0) orange
cartesian line: y**2 for y over (-10.0, 10.0) purple
%