数学のブログ

凸集合 クレイン=ミルマンの定理 n次元空間、平行移動と凸集合

ラング線形代数学(上) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢 正三(翻訳)、筑摩書房)の付録1(凸集合)、4(クレイン=ミルマンの定理)、練習問題1の解答を求めてみる。

P , Q

を F (S）の任意の 2点とする。

このとき S の点ある X、 Y が存在して

F ( X ) = P X + A = P F ( Y ) = Q Y + A = Q

このとき、

a ≥ 0 , b ≥ 0 , a + b = 1

を満たす任意の a、 b に対して、 S は凸なので

a X + b Y

は S の点で、

a P + b Q
= a ( X + A ) + b ( Y + A )
= a X + b Y + ( a + b ) A
= ( a X + b Y ) + A

よって、

a P + b Q

は

F ( S )

の点である。

ゆえに、

F ( S )

は凸である。

（証明終）