数学のブログ

凸集合 クレイン=ミルマンの定理 n次元実数空間、行列、線形方程式、解の集合

ラング線形代数学(上) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢 正三(翻訳)、筑摩書房)の付録1(凸集合)、4(クレイン=ミルマンの定理)、練習問題6の解答を求めてみる。

X 、 Y を任意の2つの解とする。

このとき、

a > 0 , b > 0 , a + b = 1

を満たす 実数 a、 b に対して

A ( a X + b Y )
= a A X + b A Y
= a B + b B
= ( a + b ) B
= B

よって、

a X + b Y

は問題の線形方程式の解である。

よって、線形方程式の解の集合は

ℝ n

の凸集合である。

（証明終）