数学のブログ

不等式等式と不等式の証明、相加平均と相乗平均、定数、等号が成り立つ場合

代数への出発 (新装版数学入門シリーズ)
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学習環境

代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店の第7章(不等式)の練習問題21.の解答を求めてみる。

和が一定の場合。

x + y + z = c

とおく。
相加平均、相乗を均の関係により、

\frac{x + y + z}{3} \geq {(x y z)}^{\frac{1}{3}}

x y z \leq {(\frac{x + y + z}{3})}^{3}

x y z \leq {(\frac{c}{3})}^{3}

で、等号が成り立つのは

x = y = z

のときなので、このとき最大となる。

（証明終）

積が一定の場合。

x y z = c

とおく。

このとき、

\frac{x + y + z}{3} \geq {(x y z)}^{\frac{1}{3}}

x + y + z \geq 3 c^{\frac{1}{3}}

で、

x = y = z

のとき等号が成り立つので、このとき和は最小になる

（証明終）