不等式等式と不等式の証明、式の変形、和の立方、立方の和、等号が成り立つ場合

学習環境

代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店の第7章(不等式)の練習問題20.の解答を求めてみる。

{(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}

= a^{3} + 3 a^{2} (b + c) + 3 a {(b + c)}^{2} + {(b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}

= 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} + 6 a b c + 3 a c^{2} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2}

3 (b + c) (c + a) (a + b)

= 3 (a b + a c + b c + c^{2}) (a + b)

= 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 a^{2} c + 3 a b c + 3 a b c + 3 b^{2} c + 3 a c^{2} + 3 b c^{2}

よって、

{(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} = 3 (b + c) (c + a) (a + b)

{(a + b + c)}^{3}

= a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 (b + c) (c + a) (a + b)

\geq 3 a b c + 24 a b c

= 27 a b c

また、等号が成り立つのは、

a = b = c

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy.abc import a, b, c


class Test(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(
            ((a + b + c) ** 3 - a ** 3 - b ** 3 - c ** 3).expand(),
            (3 * (b + c) * (c + a) * (a + b)).expand()
        )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果

% ./sample20.py -v
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.016s

OK
%