不等式等号が成り立つ場合、最大値

学習環境

代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店の第7章(不等式)の練習問題22.の解答を求めてみる。

{(a + b + c)}^{2} - 3 (b c + c a + a b) = a^{2} + b^{2} + c^{2} - b c - c a - a b \geq 0

が成り立ち、等号が成り立つのは

a = b = c

のときである。

また、

b c + c a + a b \leq \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2} = \frac{1}{3}

なので、

b c + c a + a b

は

a = b = c = \frac{1}{3}

のとき最大となり、その値は

\frac{1}{3}

である。