不等式不等式の証明、立方の和、式の変形、平方、等号が成り立つ場合

学習環境

代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店の第7章(不等式)の練習問題19.の解答を求めてみる。

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c

= (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)

= (a + b + c) \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{2}

\geq 0

よって、

a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 a b c

が成り立ち、等号が成り立つのは

a = b = c

のときである。

（証明終）