数学のブログ

不等式 不等式の証明、平方の和と和の平方、式の変形

代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫の第7章(不等式)の練習問題18.の解答を求めてみる。

  1. ( x 2 + y 2 ) - a 2 2
    = x 2 + y 2 - x 2 + y 2 + 2 x y 2
    = x 2 - 2 x y + y 2 2
    = ( x - y ) 2 2
    ≥ 0
    x 2 + y 2 ≥ a 2 2
  2. x 2 + y 2 + z 2 - ( x + y + z ) 2 3
    = x 2 + y 2 + z 2 - x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + y z + z x ) 3
    = 2 3 ( x 2 + y 2 + z 2 - x y - y z - z x )
    = 2 3 ( x 2 - ( y + z ) x + y 2 + z 2 - y z )
    D = ( y + z ) 2 - 4 ( y 2 + z 2 - y z )
    = - 3 y 2 - 3 z 2 + 6 y z
    = - 3 ( y 2 - 2 y z + z 2 )
    = - 3 ( y - z ) 2
    ≤ 0

    よって、

    2 3 ( x 2 - ( y + z ) x + y 2 + z 2 - y z ) ≥ 0
    x 2 + y 2 + z 2 ≥ a 3 3
  3. x 2 + y 2 ≥ ( x + y ) 2 2 , z 2 + u 2 ≥ ( z + u ) 2 2
    x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ≥ 1 2 ( ( x + y ) 2 + ( z + u ) 2 )
    ( x + y ) 2 + ( z + u ) 2 ≥ ( x + y + z + u ) 2 2

    よって、

    x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ≥ 1 2 · 1 2 a 2 = a 2 4

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y

p = plot3d(
    x ** 2 + y ** 2,
    (x + y) ** 2 / 2,
    show=True
)
p.save('sample18.png')

入出力結果

% ./sample18.py 
%