“離散的”な世界等比数列とその一般項 2つの等比数列とその一般項の積の数列

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問15の解答を求めてみる。

2つの等比数列

{(a_{n})}_{n \in ℕ}, {(b_{n})}_{n \in ℕ}

の初項、公比をそれぞれ

\begin{array}{l} a, r_{1} \\ b, r_{2} \end{array}

とする。

このとき、一般項はそれぞれ

\begin{array}{l} a_{n} = a r_{1}^{n - 1} \\ b_{n} = b r_{2}^{n - 1} \end{array}

よって、

a_{n} b_{n} = a r_{1}^{n - 1} b r_{2}^{n - 1} = (a b) {(r_{1} r_{2})}^{n - 1}

ゆえに、数列

{(a_{n} b_{n})}_{n \in ℕ}

は初頭、公比がそれぞれ

a b, r_{1} r_{2}

の等比数列である。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n_] := a r1^(n-1)

b[n_] := b r2^(n-1)

Table[a[n], {n, 1, 10}]

Table[b[n], {n, 1, 10}]

c[n_] := a[n] b[n]

Table[c[n], {n, 1, 10}]