“離散的”な世界等比数列とその一般項等差数列、指数、等比数列、対数

学習環境

新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問16の解答を求めてみる。

等差数列

{(a_{n})}_{n \in ℕ - {0}}

の初項を a、公差を d とすると、一般項は

a_{n} = a + (n - 1) d

このとき、数列

1 0^{a_{n + 1}} - 1 0^{a_{n}}

= 1 0^{a + n d} - 1 0^{a + (n - 1) d}

= 1 0^{a + (n - 1) d} (10 - 1)

= (9 \cdot 1 0^{a}) {(1 0^{d})}^{n - 1}

よって、数列

{(1 0^{a_{n}})}_{n \in ℕ - {0}}

は初項

9 \cdot 1 0^{a}

公比

1 0^{d}

の等比数列である。

（証明終）

問題の等比数列

{(b_{n})}_{n \in ℕ - {0}} (b_{n} > 0)

の初項を b、公比を r とおくと、一般項は

b_{n} = b r^{n - 1}

このとき、

\begin{array}{l} n \in ℕ - {0} \\ \log_{10} b_{n + 1} - \log_{10} b_{n} \end{array}

= \log_{10} \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}

= \log_{10} \frac{b r^{n}}{b r^{n \cdot 1}}

= \log_{10} r

よって、数列

{(\log_{10} b_{n})}_{n \in ℕ - {0}}

は等差数列である。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n_] := a + (n -1) d

10^a[n + 1] / 10^a[n]

Simplify[%]

b[n_] := b r^(n-1)

Log10[b[n+1]] - Log10[b[n]]

Simplify[%]

Expand[%]

b[n_] := 2 3^(n-1)

Log10[b[n+1]] - Log10[b[n]]

Simplify[%]

Expand[%]

Table[Log10[b[n]], {n, 1, 10}]

Table[%[[i + 1]] - %[[i]], {i, 1, 9}]

Simplify[%]