“離散的”な世界等差数列の和、和から項数を求める、和が最大になる項数

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等差数列の和の問7の解答を求めてみる。

一般項。
$a_{n} = 27 - 3 n$
n 頃までの和。
$\frac{n (24 + (27 - 3 n))}{2} = \frac{- 3 n^{2} + 51 n}{2}$
よって105になるのは
$\frac{- 3 n^{2} + 51 n}{2} = 105$
$3 n^{2} - 51 n + 210 = 0$
$n^{2} - 17 + 70 = 0$
$(n - 7) (n - 10) = 0$
よって、第7項と第10頃までの和が105になる。
$- 3 n^{2} + 51 n$
$= - 3 (n^{2} - 17 n)$
$= - 3 {(n - \frac{17}{2})}^{2} + 3 \cdot {(\frac{17}{2})}^{2}$
よって、
$\frac{16}{2} = 8, \frac{18}{2} = 9$
のとき、すなわち第8項と第9項までの和が最も大きくなる。

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import solve, Derivative, Rational, plot from sympy.abc import n print('7.') an = 27 - 3 * n s = n * (24 + an) / 2 class Test(TestCase): def test1(self): ns = solve(s - 105) self.assertEqual(ns, [7, 10]) def test2(self): ns = solve(Derivative(s, n, 1).doit()) self.assertEqual(ns, [Rational(17, 2)]) p = plot(an, s, 105, (n, 1, 11), legend=False, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.save('sample7.png') p.show() if __name__ == "__main__": main()